Espace-Turing

Ebook sur l'écologie mathématique

Espace-Turing OK — 2014-05-02T10:23:44Z

Nous vous présentons dans ce billet un exemple de livre numérique « augmenté », c-à-d, un livre numérique qui contient des expériences numériques interactives.

L'expérimentation numérique est devenu un outil à part entière dans de nombreux domaines scientifiques, notamment en mathématiques et en physique. Par « expérimentation », nous voulons dire le fait d'explorer, notamment par une visualisation adéquate, le comportement d'équations ou d'autres objets mathématiques. Il s'avère que cette démarche a permis la découverte de phénomènes qui seraient passés inaperçus autrement. [4]

D'un point de vue didactique, l'expérimentation numérique permet notamment de pénétrer facilement dans le monde des équations différentielles grâce à la visualisation des solutions. En particulier, il est possible de se forger une intuition et de se poser de bonnes questions avant d'éventuellement commencer l'étude mathématique de telles équations.

Exemple d'applet. En biomathématiques, certains modèles sont basés sur des équations différentielles pour décrire les variations d'abondance dans le temps de « grandes populations » qui interagissent dans un habitat donné.
Voici un exemple d'expérience numérique interactive que vous pouvez tester [5]. Elle permet d'explorer le modèle proie-prédateur de Rosenzweig-McArthur. Sélectionnez une condition intiale en cliquant. Vous pourrez observer des régimes différents en jouant avec les paramètres de manière interactive.

Cet exemple précédent fait partie d'un ensemble de six expériences numériques interactives incluses dans un livret numérique augmenté intitulé : Écologie mathématique : une invitation par l'expérimentation numérique interactive (voir le lien ci-dessous). Tout en lisant ce livret, on peut faire des expériences numériques dans lesquelles on peut changer les paramètres et recalculer immédiatement les solutions. Le format « ebook » se prête naturellement à cette démarche.
À nos yeux, inclure des expériences numériques interactives ajoute une véritable dimension au un livre numérique classique et, a fortiori, au un livre papier [6].

Quelques remarques d'ordre technique :
ce livret est gratuit mais nécessite le lecteur iBooks sur iOS (iPad) ou OSX (Mac) pour être lu. Bien que tous les éléments de ce livret utilisent des standards (Javascript, html, LateX, etc), il n'existe pas pour le moment d'outil pour fabriquer un livre numérique interactif comme celui-ci pour les autres plateformes. Toutefois, une version web du livret est disponible (avec quelques différences de contenu).

Liens :

– pour télécharger le livret ;
– une version web du livret (avec des différences de contenu) ;
– en savoir plus sur le modèle Rosenzweig-McArthur ;
– une page web avec d'autres expériences numériques interactives de natures diverses.

Voir en ligne : Jean-René Chazottes et Marc Monticelli, « Ebook sur l'écologie mathématique » — Images des Mathématiques, CNRS, 2014.

[2] Applet en JavaScript fonctionnant dans tout navigateur (ordinateurs et tablettes).

[3] Précisons que, selon nous, les livres papiers et les livres numériques augmentés sont complémentaires et correspondent à des usages différents

[5] Applet en JavaScript fonctionnant dans tout navigateur (ordinateurs et tablettes).

[6] Précisons que, selon nous, les livres papiers et les livres numériques augmentés sont complémentaires et correspondent à des usages différents

Credits_logo
Jean-René Chazotte & Marc Monticelli, 2014

L'expérimentation numérique dans la science

Espace-Turing OK, Jean-René Chazottes, marc — 2014-01-28T14:18:55Z

Cet article est disponible sous forme d'iBook sur l'iBookStore (iOS & OSX) https://itunes.apple.com/fr/book/le...

1. Introduction

L'émergence des ordinateurs, accélérée par la seconde Guerre mondiale, a donné une nouvelle dimension aux « mathématiques expérimentales » c-à-d l'exploration des propriétés d'objets mathématiques par des calculs.

Cette approche qui a toujours existé, avait vu son importance diminuer progressivement à partir du XVIIe siècle en raison de la place grandissante de l'abstraction.

Au-delà de l'extension stupéfiante du domaine des calculs possibles, de leur vitesse et de leur précision, les ordinateurs ont fourni un outil puissant : la visualisation, qui permet une exploration et la découverte de phénomènes qui passeraient inaperçus autrement.
 Les sciences physiques ont tiré un bénéfice des ordinateurs encore plus grand et plus profond que les mathématiques : les ordinateurs permettent de faire des expériences numériques à partir des équations gouvernant les phénomènes que l'on désire étudier, alors que les expériences classiques peuvent être trop compliquées, trop coûteuses, voire impossibles à réaliser (comme en astrophysique). Des expériences -dans le monde « réel »- ont même été suscitées par des expériences numériques (nous en verrons des exemples).

Le terme anglo-saxon pour qualifier cette approche est « simulation », qui est également utilisé par les francophones. Mais le mot « expérimentation » correspond beaucoup mieux à ce qu'est effectivement l'utilisation du numérique dans ces sciences.

L'objet de ce livret est de montrer comment l'expérimentation numérique -devenue interactive au fil du temps- a permis des découvertes impossibles sans elle, ainsi que le renouvellement, voire la renaissance, de certains domaines des mathématiques et de la physique. Au-delà du monde de la recherche scientifique, les ordinateurs ont évidemment influencé la didactique des mathématiques et de la physique (par exemple la théorie qualitative des équations différentielles).

Les grands inspirateurs de l'utilisation de l'expérimentation numérique sont Stanislas Ulam, John von Neumann et Alan Turing. Partant de ces figures incontournables, nous évoquerons plusieurs exemples, plus ou moins célèbres, qui illustrent cette démarche.

Sommaire

– .html">1. Introduction
– 2. John von Neumann & Stanislas Ulam
– 3. Enrico Fermi, John Pasta, Stanislas Ulam & Mary Tsingou
– 4. La morphogenèse selon Alan Turing
– 5. Bryan Birch & Peter Swinnerton-Dyer & les points rationnels des courbes elliptiques
– 6. Edward Lorenz : de la météo aux attracteurs étranges
– 7. Martin Kruskal & Norman Zabusky découvrent numériquement les solitons
– 8. Michel Hénon : de l'astrophysique aux attracteurs étranges
– 9. La cascade de doublements de période : Mitchell Feigenbaum, Pierre Coullet & Charles Tresser
– 10. Itérations de polynômes complexes : Benoît Mandelbrot, John Hubbard & Adrien Douady
– Quelques références bibliographiques
– Références « historiques »
– Carte du monde des expériences numériques citées

++++

2. John von Neumann & Stanislas Ulam

John von Neumann et Stanislas Ulam sont les premiers à avoir compris le potentiel des ordinateurs en mathématique et en physique :

Stanislas Ulam

« Presque immédiatement après la guerre, John von Neumann et moi-même avons commencé à discuter la possibilité d'utiliser les ordinateurs de façon heuristique, pour essayer d'obtenir quelques lumières sur des questions de mathématiques pures. En produisant des exemples et en observant les propriétés de certains objets mathématiques, on peut espérer obtenir des éléments de réponse quant au comportement des lois générales. Lors des années qui ont suivi j'ai suggéré, et dans certains cas résolu, une variété de problèmes de mathématiques pures en expérimentant ou même tout simplement en observant » (sous entendu “au moyen de l'ordinateur”)

(Extrait de son autobiographie : Adventures of a Mathematician, 2d ed., Berkeley, 1991)

Il propose donc d'utiliser les ordinateurs non pas comme un simple « moulin » à calculs mais comme un outil d'expérimentation permettant de « voir » les solutions des équations que l'on étudie. La vision d'Ulam a été motivée par la physique, plus précisément l'étude numérique de modèles simplifiés de diffusion des neutrons (liés à la bombe atomique). Notons que les premiers calculs pour une réaction en chaîne sont réalisés par Nicholas Metropolis en 1947, sur l'ENIAC et qu'il s'agit des prémisses de la méthode de Monte-Carlo. (La méthode de Monte-Carlo naît officiellement dans un article de Metropolis et Ulam en 1949.) Nous verrons un autre exemple issu de la physique plus bas (mécanique statistique).

John von Neumann (1952)

Dans un texte écrit en 1947 et intitulé « The Mathematician », von Neumann se demande si les mathématiques sont une science empirique. Il tente de répondre à cette question par une confrontation avec les démarches de la physique théorique. Pour lui, il y a une base empirique aux mathématiques, occultée par les développements ultérieurs, mais « quand des tendances à devenir baroque se font jour, le signal de danger doit être émis » et le seule remède semble être, selon lui, la ré-injection d'idées plus ou moins directement empiriques. Cette réflexion, qui fait le bilan de ses travaux depuis 1922, explique en partie le développement du calcul numérique et des mathématiques expérimentales. Dans cet esprit, Ulam cherche à développer une pratique des expériences numériques, d'abord dans le domaine de la combinatoire et de la théorie des nombres, puis dans domaine du « non linéaire » où il explore avec ses collaborateurs les comportements de diverses transformations non linéaires. Un des modèles est celui de l'évolution d'une grande population dans laquelle se produisent des accouplements aléatoires et des mutations. Il ne s'agit pas d'équations différentielles mais d'itérations d'une transformation non linéaire. Ces analyses sont destinées à ouvrir des perspectives, à poser des problèmes plutôt qu'à en résoudre. Notons que l'ordinateur est branché à un système permettant la visualisation des itérations. Il s'agit ni plus ni moins d'une nouvelle façon d'étudier les itérations non linéaires qui nous paraît aujourd'hui évidente…

++++

3. Enrico Fermi, John Pasta, Stanislas Ulam & Mary Tsingou

A Los Alamos, au début des années 1950, Enrico Fermi, John Pasta et Stanislas Ulam proposent un modèle pour comprendre l'évolution vers l'équilibre thermique dans un cristal. Leur modèle est suffisamment simple pour être étudier avec un ordinateur de l'époque.

Enrico Fermi

John Pasta

Mary Tsingou

Il s'agit d'une chaîne unidimensionnelle de masses identiques reliées entre elles par des ressorts. Quand on écarte une masse de sa position d'équilibre, elle subit une force de rappel qui n'est pas proportionnelle à la distance au point d'équilibre. Ce modèle est différent de celui étudié dans les cours de physique où il y a proportionnalité (on parle de chaîne « harmonique » d'oscillateurs, ce qui rend le modèle « linéaire » et donc résoluble). Même la faible « anharmonicité » introduite par Fermi, Pasta et Ulam rend le modèle très compliqué et nécessite son exploration par une expérience numérique, sans doute la première du genre. Ils considèrent 16, 32 puis 64 masses.

Ordinateur Maniac I

À leur grande surprise, ils découvrent que le système, au lieu de tendre vers l'équipartition de l'énergie (synonyme de thermalisation), présente au contraire des solutions quasi-périodiques, en contradiction avec l'hypothèse ergodique qu'on pensait alors vérifiée dans ce cas.

En 1955, ils écrivent un rapport interne dans lequel ils mentionnent que l'écriture de l'algorithme et la programmation du MANIAC I furent la tâche de Mary Tsingou (et à la rédaction duquel Fermi n'a pas participé à cause de sa mort prématurée en 1954).
Ces expériences ouvrirent la voie à toute une classe de problèmes nouveaux concernant les systèmes dynamiques non ergodiques et sont le point de départ de ce qui est maintenant une discipline à part entière : la physique numérique, qu'on peut considérer comme une branche intermédiaire entre la physique théorique et la physique expérimentale.

++++

4. La morphogenèse selon Alan Turing

Un des problèmes que s'était posé le biologiste D'Arcy Thompson est l'apparition de formes similaires pour des organismes non-apparentés, donc non explicables par des facteurs purement génétiques. Alan Turing postula qu'il devait y avoir un processus général à l'œuvre obéissant à des lois physico-chimiques. Il s'attela donc à la mise en place d'un modèle mathématique dont le but était de rendre compte de la « morphogenèse », c'est-à-dire, le passage d'un état d'équilibre initial symétrique, à un nouvel état d'équilibre non-symétrique qui constitue une forme. Ce passage devrait résulter d'une « réaction-diffusion » dans la chimie des composants du système.
Turing publie en 1952 un article célèbre intitulé « The chemical basis of morphogenesis » (Les fondements chimiques de la morphogenèse) dans lequel il propose un tel modèle et discute notamment deux exemples : la constitution de taches qui font penser à celle qu'on voit sur certains pelages d'animaux et l'hydre d'eau douce qui au cours de son développement initial développe de cinq à dix tentacules à partir d'une forme initiale tubulaire symétrique. Dans son article, Turing fait la plupart de ses calculs à la main mais montre un exemple numérique réalisé sur l'ordinateur de Manchester (le Manchester Mark I).

Du point de vue qui nous intéresse ici, Turing suggère que l'expérimentation numérique doit devenir un véritable instrument nouveau dans l'investigation de la nature. Il le confirme lui-même dans ses travaux ultérieurs consacrés à la botanique (plus précisément en phyllotaxie, c-à-d la disposition des feuilles le long des tiges des plantes). Terminons en mentionnant que les structures de Turing ont été obtenu dans une véritable expérience de chimie seulement en 1990 (V. Castets, E. Dulos, J. Boissonade and P. De Kepper, Experimental evidence of a sustained standing Turing-type nonequilibrium chemical pattern, Phys. Rev. Lett. 64 (1990)).

Expérience Numérique Interactive

++++

5. Bryan Birch & Peter Swinnerton-Dyer & les points rationnels des courbes elliptiques

Cet exemple illustre l'apport de l'expérimentation numérique dans un domaine des mathématiques « pures » : la géométrie algébrique.

Ordinateur EDSAC

Les mathématiciens ont toujours été fascinés par les équations algébriques dont on cherche des solutions qui sont des nombres entiers ou des nombres rationnels. C'est par exemple Euclide qui le premier a décrit toutes les solutions en nombres entiers de l'équation $x^2+y^2=z^2$. En divisant cette équation par $z^2$, cela revient à chercher les points de coordonnées rationnelles sur un cercle. La conjecture de Birch et Swinnerton-Dyer est reliée au nombre de points à coordonnées rationnelles d'un autre type de courbe : les courbes elliptiques. Elle est beaucoup trop technique pour être décrite ici.
Du point de vue qui nous intéresse, le fait remarquable est qu'elle a été émise au début des années 1960, par Birch et Swinnerton, grâce à des expériences numériques sur l'EDSAC (descendant de l'ENIAC) au laboratoire d'informatique de l'université de Cambridge. C'est l'un des sept problèmes du prix du millénaire proposés par le Clay Mathematical Institute en 2000 et il est à ce jour résolu que dans des cas particuliers.

++++

6. Edward Lorenz : de la météo aux attracteurs étranges

Edward Lorenz

Au début des années 1960, Edward Lorenz étudie les phénomènes de convection dans l'atmosphère terrestre. Il travaille comme météorologue au Massachusetts Institute of Technology.
 Il obtient un modèle de seulement trois équations différentielles couplées après avoir drastiquement simplifié les équations fournies par la physique. Nous ne tenterons pas de décrire ici ce que représentent ces équations. Le point qui nous intéresse est que Lorenz résout numériquement les équations et découvre ce qu'on a appelé par la suite le « chaos déterministe ».

Le phénomène de base est la « sensibilité » aux conditions initiales, autrement dit, le fait que d'infimes différences dans les conditions initiales produisent des trajectoires complètement différentes au bout d'un temps assez bref. L'observation capitale et remarquablement fine de Lorenz, compte-tenu de l'ordinateur qu'il avait à sa disposition (un Royal McBee LGP-300), est que les trajectoires ont beau dépendre des conditions initiales, elles semblent néanmoins s'accumuler sur une sorte de surface compliquée qui est insensible aux conditions initiales. Lorenz fait une esquisse de cet objet qui semble de dimension deux et dont s'approche rapidement la trajectoire d'une condition initiale. Elle voyage ensuite sur cette « surface » composée de deux sortes de lobes, passant de l'un à l'autre d'une manière qui semble aléatoire. Lorenz fait d'autres observations remarquablement inspirées que nous ne décrirons pas ici. Il venait d'observer le premier « attracteur étrange » comme allait le qualifier le physicien-mathématicien David Ruelle. Il s'agit d'un objet extraordinairement compliqué résultant pourtant de seulement trois équations différentielles couplées en apparence « innocente ».

Ordinateur Royal McBee "LGP-30"

Il convient de saluer l'extraordinaire intuition de Lorenz car ces observations pouvaient être interprétées comme un artefact de l'ordinateur. Cette question se pose encore aujourd'hui : il faut toujours faire attention que ce qu'on observe numériquement reflète correctement les équations sous-jacentes. Mais c'était pire à l'époque : les ordinateurs étaient extrêmement volumineux, bruyants, lents, chauffaient énormément et qui plus est, étaient beaucoup moins fiables qu'aujourd'hui.

Lorenz publia ses résultats en 1963 dans un journal de météorologie. Pour la petite histoire, notons que son article fut confié par le journal à Ulam pour évaluation. Il fallut près de dix ans avant que les physiciens et les mathématiciens ne réalisent l'importance de cet article. C'est en effet en 1972 que Lorenz présente l'effet papillon devant l'Association Américaine pour le progrès des Sciences avec une célèbre question : « Le battement d'aile d'un papillon au Brésil peut-il déclencher une tornade au Texas ? » Mais, surtout, Lorenz exhibe sur son écran d'ordinateur l'image surprenante de son attracteur.

Terminons en citant un extrait d'un article de Lorenz où il fait référence à Ulam juste après ces lignes :

« Nous voyons ainsi que l'ordinateur devrait jouer un rôle important, au-delà d'être un simple moulin à calculs. La machine ne peut pas prouver un théorème, mais elle peut suggérer une proposition à prouver. La proposition peut ensuite être prouvée et établie comme un théorème par des moyens analytiques, mais l'existence même du théorème pourrait ne pas être suspectée sans l'aide d'une machine. »

Lorenz, E. N. (1964), The problem of deducing the climate from the governing equations. Tellus, 16 : 1–11.

Citation originale de Lorenz :

« We thus see that a computing machine may play an important role, in addition to simply grinding out numerical answers. The machine cannot prove a theorem, but it can suggest a proposition to be proven. The proposition may then be proven and established as a theorem by analytical means, but the very existence of the theorem might not have been suspected without the aid of the machine. »

Attracteur de Lorenz en 3D

Nécessite WebGL dans votre navigateur). Vous pouvez faire tourner l'attracteur sur lui-même pour le voir sous toutes ses coutures.

++++

7. Martin Kruskal & Norman Zabusky découvrent numériquement les solitons

Au début des années 1960, les américains Martin Kruskal (physicien) et Norman Zabusky (mathématicien et physicien) reprennent le travail de Fermi-Pasta-Ulam en changeant le terme non linéaire qui régit l'interaction entre les ressorts. Avec leur programmeur, Gary Deem, ils procèdent à des expérimentations numériques qui les conduisent à l'observation d'un nouveau phénomène : des ondes « solitaires », qu'ils baptisent « solitons ». Deux solitons peuvent se rencontrer et repartir chacun de leur côté sans être modifiés ! Ces expériences numériques sont menées au Bell Telephone Laboratory à Whippany, sur des machines IBM 709 et 7090.

Kruskal et Zabusky réalisent qu'une approximation continue de ce problème n'est rien d'autre qu'une équation aux dérivées partielles qui avait été introduite par Diederik Korteweg et son étudiant Gustav de Vries en 1895. Leur but était d'expliquer les vagues « bizarres » observées cinquante ans plus tôt par l'ingénieur écossais John Scott Russel dans un canal.

C'est donc indirectement le travail de Fermi-Pasta-Ulam, repris par Kruskal et Zabusky, qui fait sortir de l'oubli l'équation de Korteweg-de Vries après près de soixante-dix ans de sommeil. L'expérimentation numérique a permis l'observation de solutions inattendues. Tout un pan de la physique et des mathématiques venait de naitre.

Dans l'approche de Kruskal et Zabusky, la visualisation joue un rôle crucial. Ceci nous paraît banal aujourd'hui mais ce n'était pas le cas à cette époque : ils ont non seulement du inventer leurs propres outils de visualisation, mais aussi d'interaction avec le programme. Pour eux, l'expérimentation numérique interactive dépasse le simple outil : le fait de modifier « en temps réel » des paramètres et de visualiser presqu'aussitôt le résultat, puis d'éventuellement recommencer, développe un rapport et une intuition nouveaux avec les équations.

++++

8. Michel Hénon : de l'astrophysique aux attracteurs étranges

Michel Hénon

Michel Hénon a placé au cœur de sa pratique scientifique les expériences numériques qu'il considérait comparable aux expériences de physique. Il s'intéresse à l'astrophysique qui est un domaine où l'expérimentation directe est bien sûr impossible ! Le calcul numérique est la seule façon de faire des « expériences ».

Dans les années 1950, Hénon participe à la construction de calculateurs analogiques puis en construit entièrement un pour son propre usage qu'il abandonnera avec l'avènement et la démocratisation des ordinateurs numériques. Il utilisera l'IBM 750 à l'observatoire de Meudon, l'IBM 7040 de l'observatoire de Nice ou encore la toute première calculatrice scientifique programmable de poche : la HP65.

Michel Hénon devant son calculateur analogique, construit avec Michel Dreux

Dans les années 1960, Hénon s'interresse à différents problèmes d'astrophysique. Durant son séjour à Princeton, en 1962, il projette d'étudier le problème d'une étoile dans une galaxie asymétrique. Il réalise plusieurs expériences numériques qui révèlent des « irrégularités ». Il confie à un étudiant, Carl Heiles, la tâche refaire ses calculs, sur une autre machine, indépendamment, comme on ferait avec une expérience de physique dont on exige qu'elle soit reproductible. Ces résultats conduiront à l'article de Hénon et Heiles de 1964 qui révèle un mélange de comportements quasi-périodiques et « ergodiques ».

L'astronomie étant une discipline très mathématisée, Hénon propose de se concentrer sur les propriétés mathématiques de modèles simples obtenus par des méthodes bien connues (datant de Poincaré et Birkhoff) qui conduisent à remplacer les équations différentielles par des itérations en utilisant des « sections transverses » habilement choisies. Malgré leur simplicité, ces modèles restent extrêmement difficiles à étudier analytiquement. Hénon propose donc de faire un usage systématique des expériences numériques.

Attracteur de Hénon extrait de son article

Une illustration éclatante de sa démarche concerne le problème restreint des trois corps. Hénon montre comment mettre en pratique les idées de Poincaré et Birkhoff pour explorer systématiquement le comportement des trajectoires possibles.

Le travail pour lequel Hénon est sans doute le plus connu en dehors de l'astronomie est celui sur l'attracteur étrange qui porte son nom. En jouant sur les paramètres des équations de Lorenz et en utilisant une section de Poincaré, Yves Pomeau, qui réalise une série de calculs numériques avec J. L. Ibanez, met en évidence le mécanisme de formation d'un « fer à cheval » de S. Smale. Pomeau expose ses travaux lors d'un séminaire donné à l'Observatoire de la Côte d'Azur auquel assiste Michel Hénon. Ce dernier propose alors un modèle très simple de transformation quadratique du plan qui simule, lorsqu'un paramètre varie, le mécanisme de formation d'un fer à cheval : c'est le fameux modèle de Hénon. L'exploration numérique de ce modèle montre, pour certaines valeurs des paramètres, l'existence d'un « attracteur étrange ». Le fait que cet attracteur existe vraiment, c-à-d qu'il n'est pas un artefact numérique, est resté un problème ouvert jusqu'en 1991. Ce sont les mathématiciens suédois Benedicks et Carleson qui, les premiers, ont démontré mathématiquement l'existence de tels objets.

– Interview de Michel Hénon

++++

9. La cascade de doublements de période : Mitchell Feigenbaum, Pierre Coullet & Charles Tresser

Pierre Coullet

En 1978, Pierre Coullet, jeune chercheur au CNRS à l'Université de Nice et Charles Tresser, étudiant en 3ème cycle, s'intéressent au mécanisme de transition vers la turbulence et en particulier à sa modélisation par des systèmes dynamiques simples, comme l'itération d'une application de l'intervalle. Comme pour le modèle de Hénon, l'exploration numérique a joué un grand rôle dans leurs travaux. La nouveauté réside dans une approche « interactive » de l'expérimentation numérique : la visualisation du résultat obtenu en « temps réel » pour une valeur du paramètre permet de faire de nouveaux choix des valeurs des paramètres et de se forger ainsi une intuition du phénomène.

Feigenbaum et Cvitanović devant une machine Sun

En même temps que Mitchell Feigenbaum, et indépendamment de lui, ils ont eu l'idée d'appliquer les techniques du groupe de renormalisation aux problèmes de la transition vers le chaos pour les applications « unimodales » (c-à-d avec une seule « bosse ») de l'intervalle. Plus précisément ils montrent que la transition vers le chaos pour les applications unimodales se fait par une cascade de doublements de période qui possède des propriétés géométriques universelles. Par exemple les valeurs du paramètre pour lesquelles on assiste à un doublement de période s'accumulent avec une raison géométrique indépendante du modèle d'applications que l'on étudie.

Diagramme de bifurcation

Au moyen d'un ordinateur HP9825 et d'un traceur XY, Coullet et Tresser ont pu visualiser les itérations de l'application logistique, changer de paramètre et visualiser immédiatement le résultat de ce changement. Le langage HPL, proche du Basic, permettait de modifier la valeur d'une variable au clavier, sans interrompre le programme. Notons que Feigenbaum a de son côté utilisé la calculatrice programmable HP65, le même modèle que Michel Hénon pour son attracteur.

On peut se demander s'il est possible d'observer une transition vers le chaos par une cascade de de doublements de période dans une vraie expérience de physique. La réponse est positive : en 1979, Albert Libschaber observa la convection dans l'helium liquide, en augmentant peu à peu le paramètre de contrôle que constitue la différence de température entre le bas et la haut de la cellule de convection. Il observa effectivement une transition vers le chaos suivant ce schéma.

Terminons en mentionnant que la reconnaissance accordée à Coullet et Tresser n'est pas à la hauteur de leur véritable contribution. Une analyse de cet état de fait est proposée dans la thèse de L. Petitgirard (chapitre 5).

++++

10. Itérations de polynômes complexes : Benoît Mandelbrot, John Hubbard & Adrien Douady

Benoît Mandelbrot

Nous évoquerons pour terminer la dynamique complexe, un domaine défriché par les mathématiciens français Pierre Fatou et Gaston Julia au début du 20ème siècle, mais qui doit son réveil, après environ une soixante d'années d'hibernation, à l'expérimentation numérique. En effet, la visualisation des ensembles de Julia a été une révélation qui a permis aux mathématiciens de se poser les bonnes questions.

Dans la préface du livre The Mandelbrot set, theme and variations, le mathématicien John Hubbard explique comment l'enseignement en DEUG, en 1976-77, à l'université d'Orsay, l'a amené à faire des expériences numériques. En cherchant comment utiliser un ordinateur dans le cadre de son cours d'analyse, il choisit d'illustrer la méthode de Newton. Comme son domaine de recherche est l'analyse complexe, il l'applique à un polynôme complexe, par exemple $z^3-1$, pour visualiser les bassins d'attraction des racines. Il se fait aider par Michel Fiollet pour écrire des programmes sur une mini-6. Stimulé par le mathématicien Dennis Sullivan qui se trouve à l'IHES (Bures-sur-Yvette), il explore et visualise divers « ensembles de Julia » : étant donné deux nombres complexes $z_0$ et $c$, on définit la suite $(z_n)$ par récurrence en posant . Pour une valeur donnée de c, l'ensemble de Julia correspondant est la frontière de l'ensemble des valeurs initiales $z_0$ pour lesquelles la suite est bornée.

Il semble que Hubbard ait montré ses images durant une conférence à laquelle assiste Benoît Mandelbrot, en 1997, aux USA. Ce dernier lui dit avoir souvent pensé à ces ensembles sans jamais avoir cherché à en obtenir des images. Hubbard mentionne qu'en 1981-82, l'arrivée de l'Apple II va énormément compter pour lui et lui permet d'obtenir de bien meilleures images qu'auparavant.

Alors que Mandelbrot travail chez IBM et a accès aux meilleurs ordinateurs de l'époque, c'est lors d'un séjour à Harvard, qu'il obtient pour la première fois en mars 1980 une visualisation grossière au moyen d'un ordinateur Vax de l'ensemble qui portera son nom.

Il est obtenu en traçant l'ensemble de toutes les valeurs de $c$ pour lesquelles la suite définie ci-dessus est bornée, en prenant $z_0=0$ . Le programmeur est Peter Moldave. Il publie un article sur ses résultats la même année.

L'étude de l'ensemble de Mandelbrot commence réellement en 1984 avec les travaux de Douady et Hubbard, qui établissent ses propriétés fondamentales et baptisent l'ensemble en l'honneur de Mandelbrot. Hubbard utilise beaucoup d'expériences numériques pour guider leur intuition.
En 1985, les mathématiciens Heinz-Otto Peitgen et Peter Richter popularisent l'ensemble de Mandelbrot par des images de qualité et qui frappent les esprits.

++++

Quelques références bibliographiques

– H. L. Anderson. Scientific uses of the MANIAC. J. Stat. Phys. vol. 43, 1986.

– J. Borwein & D. Bailey. Mathematics by Experiment : Plausible Reasoning in the 21st Century (2008, Second Edition) & Experimentation in Mathematics : Computational Paths to Discovery (2004). A K Peters. On peut consulter le site : http://www.experimentalmath.info

– M. Farge. L'approche numérique : Simulation ou simulacre des phenomènes ? in `Logos et Théorie des Catastrophes', éd. Jean Petitot, Patino, 119-139 (1988).

– J. Hubbard, préface de : The Mandelbrot set, theme and variations. Edited by Lei Tan. London Math. Soc. Lecture Note Ser., 274. Cambridge University Press, 2000.

– E. N. Lorenz. Predictability : does the flap of a butterfly's wings in Brazil set off a tornado in Texas ? 139th Annual Meeting of the American Association for the Advancement of Science (29 Dec 1972), in Essence of Chaos (1995), Appendix 1, p. 181.

– B. Mandelbrot. Fractals and the Rebirth of Iteration Theory. In : Peitgen & Richter : The Beauty of Fractals (1986), pp 151-160.

– L. Petitgirard. Le chaos : des questions théoriques aux enjeux sociaux. Thèse de doctorat, Univ. Lyon 2, 2004. Cf. chapitre 9.

– S. Ulam. Science, computers, and people. Birkhäuser Boston, Inc., Boston, MA, 1986. Lire en particular le chapter 6 (« Computers in Mathematics »), 9 (« Patterns of growth of figures ») & 17 (« Von Neumann : The Interaction of Mathematics and Computing »).

– T. Weissert. The genesis of simulation in dynamics. Pursuing the Fermi-Pasta-Ulam problem. Springer-Verlag, New York, 1997. Cf. Chapitre 5 : Steps to an Epistemology of Simulation.

– N. Zabusky. Fermi-Pasta-Ulam, Solitons and the Fabric of Nonlinear and Computational Science : History, Synergetics and Visiometrics. Chaos vol. 15, 2005.

++++

Références « historiques », pour ceux qui veulent lire certains des travaux originels mentionnés dans le texte

– B. J. Birch, H. P. F. Swinnerton-Dyer. Notes on elliptic curves. I. J. Reine Angew. Math. vol. 212, 1963.

– P. Coullet, C. Tresser. Itérations d'endomorphismes et groupe de renormalisation. Le Journal de Physique vol. 35, 1978.

– M. Feigenbaum. Quantitative Universality for a Class of Non-Linear Transformations. J. Stat. Phys. vol. 19, 1978.

– E. Fermi, J. Pasta et S. Ulam. Studies of Nonlinear Problems. Document Los Alamos 1940 (May 1955).

– M. Hénon, C. Heiles. The applicability of the third integral of motion : Some numerical experiments. The Astrophysical Journal 69 (1964).

– M. Hénon. A two-dimensional mapping with a strange attractor. Comm. Math. Phys. vol. 50, 1976.

– E. N. Lorenz. Deterministic Nonperiodic Flow. Journal of the Atmospheric Sciences vol. 20, 1963.

– B. Mandelbrot. Fractal aspects of the iteration of $z\mapsto \lambda z(1-z)$ for complex $\lambda$ and $z$. Ann. New York Acad. Sci. 357 (1980).

– A. Turing. The chemical basis of morphogenesis. Philosophical Transactions of the Royal Society B (1952).

– N. J. Zabusky, M. D. Kruskal. Interaction of "Solitons" in a Collisionless Plasma and the Recurrence of Initial States. Phys. Rev. Lett. vol. 15 (1965).

– G. S. Deem, N. J. Zabusky, M. D. Kruskal. Formation, Propagation, and Interaction of Solitons : Numerical Solutions of Differential Equations Describing Wave Motion in Nonlinear Dispersive Media. Film Library of the Bell Telephone Laboratories, Inc., Whippany, NJ.

++++

Cartes du monde des expériences numérique citées

Tas de sable et criticalité auto-organisée

Espace-Turing OK, Jean-René Chazottes, marc — 2013-09-24T15:53:48Z

Avant-propos

L'objet de cet article est de présenter le modèle emblématique de la théorie de la « criticalité auto-organisée » dont le but est de rendre compte du comportement de nombreux systèmes complexes.

Ce modèle, inspiré des tas de sable, a été proposé en 1987 par les physiciens Bak, Tang et Wiesenfeld. Nous verrons le contraste saisissant entre le caractère élémentaire de ses règles d'évolution et les structures que celles-ci peuvent engendrer.
Nous proposons au lecteur d'expérimenter lui-même certains aspects de ce modèle grâce à une simulation numérique interactive.
D'un point de vue mathématique, ce modèle possède de fascinantes propriétés algébriques et probabilistes largement incomprises à ce jour ; nous conclurons cet article par quelques problèmes ouverts.

Prélude : le tas de sable de Per Bak

En 1987, le physicien danois Per Bak propose une approche originale pour essayer de comprendre toute une classe de systèmes dont l'archétype est la dynamique des tas de sable.
Imaginons une expérience qui consiste à ajouter régulièrement des grains à un tas de sable situé sur un plateau circulaire.
Petit à petit, le tas grossit et sa pente augmente jusqu'au moment où l'ajout d'un grain supplémentaire provoque une avalanche effondrant partiellement le tas. On continue d'ajouter des grains jusqu'à la prochaine avalanche.

Il est pratiquement impossible de prédire si l'ajout d'un grain produira quelques éboulements ou bien une avalanche.

Vidéo d'une expérience avec du vrai sable :

« Criticalité auto-organisée » : késako ?

A partir de cet exemple, Bak dégage le concept de « criticalité auto-organisée » [18] pour décrire de façon unifiée les systèmes possédant un seuil de stabilité intrinsèque autour duquel ils tendent spontanément à se maintenir. Tant que l'on fournit de la matière, le système va évoluer de telle sorte qu'il se rapproche de son seuil de stabilité ; dès que ce seuil est dépassé, le système relaxe rapidement pour se retrouver dans un état provisoirement stable jusqu'à la prochaine « avalanche », à l'instar du tas de sable.

Dans son livre [Bak-1996], Bak développe hardiment ses idées pour les appliquer à de nombreux systèmes complexes comme, par exemple, les tremblements de terre, les embouteillages routiers, les krachs boursiers, les extinctions massives dans l'évolution des espèces, la percolation d'invasion, la géométrie des soudures, les décharges neuronales, les réseaux urbains, etc. Récemment, on a mis en évidence un comportement critique auto-organisé pour de grands groupes d'Étourneaux sansonnets. On peut consulter un article sur ce sujet ici et y visionner un film spectaculaire.

Le point clé de la criticalité auto-organisée est qu'une même perturbation (l'ajout d'un grain de sable par ex.) peut avoir des effets minimes (locaux) ou bien des effets à grande échelle. Plus précisément, la probabilité pour que des avalanches de grande taille ait lieu est suffisamment élevée pour que les avalanches n'aient pas de taille moyenne définie, c'est-à-dire, pas de taille caractéristique autour de laquelle les tailles d'avalanches fluctueraient de façon normale [19]. Mathématiquement, on parle de lois de puissance. De telles lois quantifient la présence de corrélations à très longue portée dans le système.

C'est en fait en physique statistique que de telles lois ont été d'abord observées : par exemple, un matériau ferromagnétique est aimanté à suffisamment basse température tandis qu'il perd son aimantation dès qu'une température critique est dépassée. C'est l'exemple emblématique de ce qu'on appelle une « transition de phase ». Quand la température vaut exactement la valeur critique, tous les éléments (« spins ») du matériau s'influencent mutuellement. Les physiciens parlent de « phénomènes critiques ».

Le ferromagnétisme qu'on observe dans la nature est un phénomène extrêmement compliqué à décrire mathématiquement. Les physiciens se sont donc résignés à introduire un modèle ultra-simplifié mais néanmoins capable de capturer l'essence de cette transition de phase. Il s'agit du modèle d'Ising [20] pour lequel on est effectivement capable de démontrer (en dimension deux) la criticalité pour la température critique.

En savoir plus sur la criticalité dans le modèle d'Ising

Nous allons brièvement évoquer le modèle d'Ising qui, bien qu'étant une caricature grossière, capture l'essence du ferromagnétisme : certains métaux ont une aimantation qui disparaît au dessus d'une certaine température, dite de Curie. Nous allons voir que la bifurcation entre la phase aimantée et la phase non aimantée se passe pour une température critique précise et qu'à cette température le système présente des propriétés surprenantes.

Décrivons-le très succinctement en dimension deux [21] : en chaque noeud d'une grille carrée de très grande taille (disons noeuds), on a une variable d'état qui est soit '+' et qui symbolise un « spin » orienté vers le haut, soit '-' et qui symbolise un spin orienté vers le bas.

Grille de 64 spins

Chaque spin n'interagit qu'avec ses plus proches voisins (il y en a donc 4). Lorsque la température est nulle (0 Kelvin), les spins sont tous identiques (soit tous '+' soit tous '-'), il y a donc seulement deux configurations possibles qui, en fait, minimisent l'énergie du système. A l'opposé, lorsque la température est infinie, toutes les configurations de '+' et de '-' deviennent équiprobables et il y a donc un très grand nombre de configurations possibles. C'est comme si on tirait à Pile-ou-Face chaque spin, indépendamment des autres.

La question qui vient immédiatement à l'esprit est : que se passe-t-il pour les températures intermédiaires ? On pressent une compétition entre l'interaction qui favorise le regroupement des spins et l'« agitation thermique » qui a tendance à détruire ces regroupements. On peut observer numériquement et prouver mathématiquement qu'il y a en fait un phénomène remarquable : il existe une température critique [22] qui sépare une phase désordonnée de haute température (T_c" title="T>T_c" />) d'une phase ordonnée de basse température () dans laquelle de grands amas de spins '+' et de spins '-' sont présents. Cette dernière est caractérisée par une aimantation spontanée. Cette aimantation devient nulle quand T_c" title="T>T_c" /> car il y a statistiquement autant de spins '+' que de spins '-'.

Au dessus de la température critique, une seule phase homogène ('+' en vert, '-' en bleu)

À la température critique, le système « hésite »

Au dessous de la température critique, les phases '+' et '-' se séparent

Simulation du modèle de Ising sur youtube

Simulation du modèle de Ising sur youtube

Simulation du modèle
de Ising sur youtube

On peut montrer que pour T_c" title="T>T_c" />, l'influence d'un spin sur un autre est exponentiellement petite comme fonction de leur distance de séparation. Cette loi permet de caractériser grossièrement la « longueur de corrélation » du système, c-à-d le rayon de la zone d'influence effective d'un spin. Cette échelle de longueur caractéristique dépend de la température et diverge quand on tend vers . Quand on s'approche de en partant de températures plus petites que , les amas de '+' et de '-' deviennent de plus en plus grands.
Mais que se passe-t-il quand la température est exactement égale à ? Une analyse numérique plus poussée et des mathématiques sophistiquées [23] montrent que des amas de toutes tailles apparaissent, ce que mathématiquement on formalise par une loi de puissance, sans échelle de longueur caractéristique : la corrélation entre deux spins, l'un au point l'autre au point (pour fixer les idées), se comporte comme . Dit plus dramatiquement, le modèle d'Ising à la température critique est statistiquement invariant d'échelle.

Dans le cas du modèle d'Ising et de nombreux autres modèles de Physique Statistique, le point est qu'il faut un expérimentateur attentionné qui ajuste le bon paramètre à la bonne valeur pour mettre le système dans son état critique. Jusqu'au début des années 1980, on pensait que les phénomènes critiques étaient en effet des phénomènes qui n'apparaissent que dans des circonstances exceptionnelles, contrôlées par un paramètre extérieur.
Le but de Bak, Tang et Wiesenfeld dans leur article fondateur [BTW-1987] était de proposer le modèle le plus simple possible capable de se placer, sans paramètre d'ajustement, dans une phase critique [24].
C'est ce modèle, appelé « tas de sable abélien » [25] ou modèle de Bak-Tang-Wiesenfeld, que nous allons maintenant décrire et partiellement explorer.

Le modèle du tas de sable abélien

Mécanisme de base.
Imaginons un quadrillage de cases. Dans chaque case, nous pouvons empiler des « grains » avec une capacité maximale de trois grains. S'il y a quatre grains dans une case donnée, un éboulement se produit : la case se vide de ses quatre grains qui sont envoyés dans les quatre cases voisines, un par case.
Que se passe-t-il au bord ? Un des grains est définitivement perdu, ou deux s'il s'agit d'une case située dans l'un des coins.

Un exemple d'avalanche sur un quadrillage .
Le lecteur se doute qu'un éboulement peut déclencher de nouveaux éboulements de proche en proche : une avalanche peut ainsi se produire. Le fait que des grains disparaissent quand l'avalanche atteint le bord du quadrillage (en supposant qu'elle y parvienne) assure que ce processus finisse par s'arrêter. On atteint ainsi une configuration stable dans le sens que chaque case contient au maximum trois grains.
Voici un exemple concret :

Une question se pose : quel rôle joue l'ordre dans lequel on procède aux éboulements ? En effet, à un instant donné, plusieurs cases peuvent être instables et il faut bien choisir un ordre dans lequel opérer les éboulements. On peut démontrer que la configuration finale ne dépend pas de l'ordre des éboulements : les éboulements « commutent » entre eux ! (C'est de là que vient le qualificatif « abélien » du modèle.)

Expérience Numérique Interactive

Mode d'emploi

Cliquez sur une case pour rajouter un grain.
Pour rajouter une "source" de grains, appuyez un court instant sur une case de la grille jusqu'à ce qu'elle apparaisse en vert. Puis appuyez sur "Activer les sources" pour lancer la simulation.
Clickez sur une source pour la supprimer.
Pour tester si une configuration est récurrente, cliquez sur "Test de combustion". La configuration est récurrente lorsque toutes les cases sont "brûlées" (apparaissent en rouge).

En cas de problème avec cette expérience, rechargez la page.

Expérience numérique interactive disponible sur experiences.math.cnrs.fr

Exemple de configuration remarquable.
Prenons un quadrillage d'environ cases [26] et plaçons deux grains dans chaque case. Voici la configuration stable qu'on obtient après l'ajout de grains au centre du quadrillage :

Nous verrons d'autres configuration remarquables dans la suite de l'article.

Le tas de sable abélien vu comme une chaîne de Markov

L'étude rigoureuse de ce modèle a été initiée par le physicien indien Deepak Dhar au début des années 1990.
On peut définir une dynamique markovienne à partir des deux mécanismes de base qui sont (1) l'ajout d'un grain dans une case (2) la relaxation vers une configuration stable. Pour cela, on part d'une configuration stable donnée, on choisit une case au hasard [27] et on y ajoute un grain : si la case contient quatre grains, on laisse le système se stabiliser, si elle en contient moins de quatre, rien ne se passe ; puis on réitère l'opération. On continue ainsi indéfiniment.

On a ainsi défini une chaîne de Markov, à temps discret, dont l'espace des états (fini) est l'ensemble des configurations stables sur le quadrillage , où est fixé.

Une fois la dynamique définie, on peut se demander s'il y a des configurations récurrentes : existe-t-il des configurations telles que, si on démarre avec l'une d'entre elles et qu'on fait évoluer le système, cette configuration va apparaître une infinité de fois dans le futur, avec une probabilité égale à un ? Lorsqu'une configuration n'est pas récurrente, on dit qu'elle est transiente.

On peut démontrer que l'ensemble des configurations récurrentes communiquent toutes entre elles : étant donné deux configurations récurrentes, partant de l'une on obtient l'autre au bout d'un temps fini, avec une probabilité positive ; et vice-versa [28].

Il y a une autre définition des configurations récurrentes, équivalente à la précédente, qui ne semble ne pas avoir de lien avec la dynamique markovienne : une configuration est récurrente si, quelle que soit la case qu'on choisit, l'addition répétée de grains dans cette case particulière finit par nous ramener à la configuration initiale. (Nous sous-entendons qu'entre chaque addition, nous laissons le système se stabiliser.) Le nombre d'itérations nécessaire dépend bien sûr de la case choisie.

Une dernière propriété des configurations récurrentes que nous voulons mentionner est qu'elles « attirent » toutes les configurations stables : une configuration transiente finit par se transformer en une configuration récurrente en choisissant n'importe quelle case et en y ajoutant suffisamment de grains. Autrement dit, la dynamique du système finit tôt ou tard par se concentrer sur l'ensemble des configurations récurrentes.

L'algorithme de « combustion » ou comment tester si une configuration est récurrente

Il semble a priori difficile de déterminer si une configuration est récurrente ou non. Mais D. Dhar a trouvé un algorithme simple pour le déterminer. Cet algorithme équivaut à tester si la configuration donnée contient des sous-configurations dites « interdites ». Le lecteur peut deviner qu'il existe en effet des sous-configurations qui ne vont jamais être créées par additions de grains et relaxations, à moins qu'elles ne soient présentes dans la configuration initiale. Voici quelques exemples :

Exemples de sous-configurations impossibles dans une configuration récurrente

Il est possible de démontrer qu'une configuration est récurrente si et seulement si elle ne contient aucune configuration interdite.

L'algorithme de combustion est le suivant :
On choisit arbitrairement une case qu'on « brûle » si le nombre de grains qu'elle contient est supérieur ou égal au nombre de ses voisins non brûlés.
Une case qui se trouve dans un coin a deux voisins. Une case qui se trouve au bord mais pas dans un coin en a trois et une case qui n'est pas sur le bord en a quatre.
On peut commencer par tester les cases du bord puis continuer récursivement vers le centre du quadrillage.

Exemple de test de combustion

Exemples de configurations récurrentes

On peut démontrer qu'une configuration est récurrente si et seulement si on peut brûler toutes les cases.
La simulation ci-dessus permet d'appliquer l'algorithme de combustion.
Demandez d'afficher le test de combustion, et essayez de trouver une configuration récurrente. Quand une case peut être "brulée" elle apparaît en vert. Commencez par une grille 3x3, puis augmentez la taille de la grille.

Additionner des configurations récurrentes définit un groupe abélien

On peut empiler deux configurations stables en ajoutant case à case le nombre de grains. Bien sûr, des avalanches sont à prévoir, donc l'opération d'addition qu'on veut définir comporte la phase de relaxation vers une configuration stable. Notons cette opération. Comme le lecteur peut s'en douter, l'ensemble des configurations récurrentes est le bon ensemble de configurations sur lequel définir [29]. Qui dit groupe, dit élément identité, c-à-d une configuration particulière qui, ajoutée à toute configuration récurrente au sens de , laisse la configuration invariable.
La question qui se pose immédiatement est la suivante :

Comment calculer l'identité du groupe ?

Un peu de travail montre qu'on peut l'obtenir avec l'algorithme suivant : on part du quadrillage sans aucun grain puis on ajoute un grain dans chaque case qui se trouve sur le bord, excepté les quatre cases qui forment les coins auxquelles on ajoute deux grains.
On continue d'ajouter cette configuration spéciale (en laissant bien sûr le système relaxer entre chaque addition) jusqu'à ce qu'on obtienne une configuration qui n'évolue plus. Voici ce que l'on obtient avec la simulation ci-dessus pour différentes tailles du quadrillage :

Identité du groupe pour différentes tailles du quadrillage

Quelques résultats mathématiques et problèmes ouverts

Notre but est de donner au lecteur une idée des questions que se posent les mathématiciens sur ce modèle. Nombreuses sont celles
qui demeurent complètement ouvertes à ce jour, certaines pouvant sembler très basiques. Nous n'en mentionnons qu'un petit échantillon.

Avant de les aborder, observons qu'il y a deux paramètres dans le modèle :
la taille du quadrillage et sa dimension.
Nous avons décrit le modèle en dimension deux, sur un réseau carré identifié à [30], mais il est possible de le formuler en dimension quelconque, c'est-à-dire sur le réseau hypercubique .

Faire tendre la taille du réseau vers l'infini, c-à-d considérer le système en volume infini, est une démarche naturelle pour le mathématicien et le physicien théoricien qui veulent se débarrasser des « effets de bord ». En effet, l'étendue d'une avalanche va être limitée par le bord du système. C'est donc seulement en volume infini que chercher à démontrer une distribution de la taille des avalanches en loi de puissance a un sens.

Loi de probabilité stationnaire en volume infini et criticalité

Il y a une loi de probabilité très simple dont le support est l'ensemble des configurations récurrentes : celle qui donne un poids identique à chaque case, indépendamment du nombre de grains qu'elle contient [31]. Cette loi de probabilité est en fait l'unique mesure de probabilité stationnaire pour le système [32]. Notons-la puisqu'elle dépend de la taille du système (dont le volume est ). On peut démontrer que si , tend vers une mesure de probabilité , ce qui donne un sens à l'expression « tirer une configuration infinie selon ».

Pour , on peut par exemple calculer exactement la probabilité qu'une configuration contienne un seul grain dans la case : elle vaut .

On sait également démontrer que certaines fonctions de corrélations suivent des lois de puissance, mais seulement lorsque
[33]. Il y a donc des corrélations à longue portée dans le système. Le cas n'a pas été mathématiquement traité à ce jour.

Une question naturelle concerne la finitude des avalanches. Prenons une configuration typique du système, en volume infini, et ajoutons un grain à l'origine. Une avalanche peut se produire. Si elle se produit, est-elle de taille finie ? A l'heure actuelle, on sait démontrer qu'une avalanche est finie avec probabilité un mais seulement lorsque . Le cas reste ouvert.

Une question plus précise concernant les avalanches est la distribution de leurs rayons. Les simulations numériques montrent que cette distribution suit une loi de puissance. Le seul résultat qui va dans ce sens se trouve dans un article récent [Jarai-Redig-Saada-2011] : si , la probabilité en volume infini qu'une avalanche ait un rayon plus grand que est comprise entre et , où sont deux constantes positives. Rien n'est démontré à ce jour pour .

Forme limite et fractalité

On peut observer que si on dépose grains au centre d'une configuration initiale homogène, la configuration finale sera sur un quadrillage de cases, avec proportionnel à sans qu'aucun grain ne soit perdu à cause du bord.
Si nous voulons ajouter grains, il faudra donc un quadrillage d'environ cases. Si nous voulons ajouter grains, un quadrillage d'environ cases sera nécessaire. Et ainsi de suite.
Si on divise à chaque fois le côté du quadrillage par la racine carrée du nombre de grains qu'on a ajoutés, cela revient à garder la taille du système constante et à prendre des cases de plus en plus petites qui vont devenir quasiment des points lorsque le nombre de grains ajoutés est très grand. La question est : obtient-on une forme limite par ce processus ? Voici par exemple ce qui se passe si on part de la configuration homogène avec grain par case et qu'on ajoute de plus en plus de grains :

Configurations obtenues après l'ajout de 1000, 10 000, 100 000 et 1 000 000 grains à l'origine

Configuration obtenue après l'ajout d'environ 1 milliard de grains à l'origine.

Il semble qu'une forme limite émerge et qu'elle soit fractale.
A l'heure actuelle, personne n'est en mesure de démontrer quoi que ce soit dans ce sens, à part l'existence de la limite dont l'énoncé est trop technique pour être donné ici. Le lecteur peut consulter l'article [Pegden-Smart-2012].

Mentionnons enfin que le modèle du tas de sable abélien peut être défini sur d'autres graphes que . On peut par exemple prendre un réseau triangulaire [34]. En fait, le modèle peut être défini sur un graphe connexe arbitraire dans lequel un sommet est considéré comme un « puits », à savoir que tout grain qui arrive sur ce sommet disparaît du système.

Bibliographie (commentée)

[Bak-1996]
P. Bak. Quand la nature s'organise ; avalanches, tremblements de terre et autres cataclysmes. Flamarion, 1999.
Trad. de "How Nature Works : The Science of Self-Organized Criticality". New York : Copernicus (1996).
Livre grand public stimulant.

[BTW-1987]
P. Bak, C. Tang and K. Wiesenfeld. Self-organized criticality : an explanation of 1/ƒ noise. Physical Review Letters 59 (1987) 381-384.
Disponible librement ici.
C'est l'article où le modèle présenté dans cet article a été introduit.

[Dhar-2006]
D. Dhar. Theoretical studies of self-organized criticality. Physica A : Statistical Mechanics and its Applications, 369 (2006) p. 29-70.
Disponible librement ici
C'est un article de synthèse qui présente divers modèles de criticalité auto-organisée, notamment le tas de sable abélien. L'auteur est le premier à l'avoir étudié rigoureusement. Il a eu de nombreuses idées fondamentales pour la suite.

[Jarai-Redig-Saada-2011]
A. Jarai, F. Redig, E. Saada. Zero dissipation limit in the abelian avalanche model.
Disponible ici.
Article de recherche, le premier à démontrer des bornes compatibles avec une loi de puissance pour la distribution de la taille des avalanches en dimension trois et plus.

[Pegden-Smart-2012]
W. Pegden, C. Smart. Convergence of the Abelian sandpile (2012).
Disponible ici.
Article de recherche.

[Redig-2006]
F. Redig. Mathematical aspects of the abelian sandpile model. Mathematical statistical physics, 657–729,
Elsevier (2006).
Disponible librement ici.
Article de synthèse qui donne l'état de l'art en 2006. Il contient les
preuves détaillées de tous les résultats de base mentionnés dans notre article.

[Sornette-2004]
D. Sornette. Critical Phenomena in Natural Sciences. Springer (2004).
Ce livre est remarquable par le panorama qu'il offre. Il ne s'agit pas d'un livre de mathématique mais de physique théorique.

[1] En anglais, cela donne « Self-Organized Criticality » ou SOC en abrégé.

[2] Nous voulons dire en adéquation avec le théorème central limite.

[3] introduit en fait par Wilhelm Lenz, directeur de thèse de Ernst Ising

[4] En dimension un, il n'y pas de transition de phase pour le modèle d'Ising. Ce n'est qu'à partir de la dimension deux que c'est possible. Nous aurions pu discuter le modèle d'Ising en dimension trois mais il est beaucoup plus compliqué qu'en dimension deux et cela n'apporte rien à ce que nous voulons souligner ici.

[5] Dans un système d'unités normalisé, $T_c=\frac2\ln(1+\sqrt2)$.

[6] Consulter par exemple cet article de Scholarpedia.

[7] Insistons sur le fait que leur but n'était pas de modéliser un vrai tas de sable.

[8] « abelian sandpile model » en anglais.

[9] Nous avons limité la taille maximum du quadrillage de l'expérience numérique de cet article pour des raisons de temps de calcul.

[10] c-à-d que toute case a une probabilité $1/N^2$ d'être tirée.

[11] On peut également démontrer qu'il y a une unique probabilité stationnaire dont le support est l'ensemble des configurations récurrentes : on donne un poids égal à chaque case puis on normalise par la cardinalité de cet ensemble, qui est égale au déterminant du laplacien discret, avec condition au bord libre, qui vaut approximativement $3,21^N$ (alors qu'il y a $4^N$ configurations stables en tout).

[12] Pour le lecteur initié, nous avons en fait défini une marche aléatoire sur le groupe formé des configurations récurrentes et de l'addition $\oplus$.

[13] Mathématiquement, le modèle est défini sur les sommets de $\mathbbZ^2$ vu comme un graphe. Pour des raisons évidentes de visualisation, chaque sommet est au centre d'une case. Ainsi, quand on dit par exemple qu'on ajoute un grain à l'origine, on veut dire qu'on ajoute un grain dans la case centrée sur $(0,0)$.

[14] rappelons que l'ensemble des configurations récurrentes est un sous-ensemble des configurations stables, c-à-d des configurations pour lesquelles il y a au plus trois grains par case.

[15] Elle est en fait ergodique et même mélangeante.

[16] Pour être précis :
$$
\lim_N\to\infty\mu_N
(\textun grain à l'origine, \textun grain dans la case ; i)
– \mu_N(\textun grain à l'origine)^2 \simeq \frac1|i|^2d
$$
o`u $i\in\mathbbZ^d$ et $|i|=\sqrti_1^2+i_2^2+\cdots+i_d^2$ (la notation $a_k\simeq b_k$ signifie que $a_k/b_k\to 1$ quand $k\to\infty$).

[17] Le lecteur peut visiter la galerie de W. Pedgen pour voir divers exemples.

[18] En anglais, cela donne « Self-Organized Criticality » ou SOC en abrégé.

[19] Nous voulons dire en adéquation avec le théorème central limite.

[20] introduit en fait par Wilhelm Lenz, directeur de thèse de Ernst Ising

[21] En dimension un, il n'y pas de transition de phase pour le modèle d'Ising. Ce n'est qu'à partir de la dimension deux que c'est possible. Nous aurions pu discuter le modèle d'Ising en dimension trois mais il est beaucoup plus compliqué qu'en dimension deux et cela n'apporte rien à ce que nous voulons souligner ici.

[22] Dans un système d'unités normalisé, $T_c=\frac2\ln(1+\sqrt2)$.

[23] Consulter par exemple cet article de Scholarpedia.

[24] Insistons sur le fait que leur but n'était pas de modéliser un vrai tas de sable.

[25] « abelian sandpile model » en anglais.

[26] Nous avons limité la taille maximum du quadrillage de l'expérience numérique de cet article pour des raisons de temps de calcul.

[27] c-à-d que toute case a une probabilité $1/N^2$ d'être tirée.

[28] On peut également démontrer qu'il y a une unique probabilité stationnaire dont le support est l'ensemble des configurations récurrentes : on donne un poids égal à chaque case puis on normalise par la cardinalité de cet ensemble, qui est égale au déterminant du laplacien discret, avec condition au bord libre, qui vaut approximativement $3,21^N$ (alors qu'il y a $4^N$ configurations stables en tout).

[29] Pour le lecteur initié, nous avons en fait défini une marche aléatoire sur le groupe formé des configurations récurrentes et de l'addition $\oplus$.

[30] Mathématiquement, le modèle est défini sur les sommets de $\mathbbZ^2$ vu comme un graphe. Pour des raisons évidentes de visualisation, chaque sommet est au centre d'une case. Ainsi, quand on dit par exemple qu'on ajoute un grain à l'origine, on veut dire qu'on ajoute un grain dans la case centrée sur $(0,0)$.

[31] rappelons que l'ensemble des configurations récurrentes est un sous-ensemble des configurations stables, c-à-d des configurations pour lesquelles il y a au plus trois grains par case.

[32] Elle est en fait ergodique et même mélangeante.

[33] Pour être précis :
$$
\lim_N\to\infty\mu_N
(\textun grain à l'origine, \textun grain dans la case ; i)
– \mu_N(\textun grain à l'origine)^2 \simeq \frac1|i|^2d
$$
o`u $i\in\mathbbZ^d$ et $|i|=\sqrti_1^2+i_2^2+\cdots+i_d^2$ (la notation $a_k\simeq b_k$ signifie que $a_k/b_k\to 1$ quand $k\to\infty$).

[34] Le lecteur peut visiter la galerie de W. Pedgen pour voir divers exemples.

Crédit logo : Wesley Pegden

Sur les modèles proie-prédateur en écologie

Jean-René Chazottes, marc — 2013-01-31T22:05:59Z

Le douanier Rousseau - Le lion ayant faim se jette sur l'antilope - 1905

– La dernière version de cet article est disponible sous forme d'iBook sur l'iBookStore (iOS & OSX)

En écologie, un écosystème est constitué de différentes populations qui interagissent entre elles.
Une population est un ensemble d'individus d'une même espèce qui occupent simultanément un même milieu.
Ordinairement, les individus d'une population se disputent les mêmes ressources, tout comme les individus appartenant à des populations différentes (compétition). Certaines populations vivent au dépens d'autres (parasitisme). Certaines populations s'aident mutuellement (mutualisme, voire symbiose).
Tout cela s'inscrit dans le phénomène général de la lutte pour la vie, pour reprendre l'expression de Darwin.
Le caractère quantitatif de ce phénomène se manifeste dans les variations des nombres d'individus d'un écosystème.

Une branche de l'écologie mathématique, appelée dynamique des populations, se propose d'étudier théoriquement ces variations à partir de modèles simplifiés. Le but est de forger un cadre de pensée permettant de sonder et d'explorer la luxuriance du réel.
Les premiers modèles datent des années 1920 et sont basés sur des équations différentielles.
A chaque population correspond une équation ; la façon dont les équations des différentes populations sont couplées dépend de leurs interactions. De tels modèles sont encore étudiés malgré leurs nombreuses faiblesses. En particulier, ils ne permettent de modéliser l'interaction de populations qu'« en moyenne » sur l'espace occupé et ne sont pertinents que pour de grandes populations. L'étude de petites populations, et en particulier des phénomènes d'extinction, requiert des modèles probabilistes dont nous ne parlerons pas ici.

Notre but ici est une petite initiation à ces modèles différentiels en se concentrant sur l'interaction de type « proie-prédateur » (ou « ressource-consommateur »). Le point de départ est le modèle historique de Lotka et Volterra.

Nous introduirons ensuite un modèle dû à Rosenzweig et MacArthur où la prédation est modélisée de façon plus réaliste. Dans ce modèle,
il est possible d'avoir un « cycle limite », c-à-d des oscillations périodiques des populations au cours du temps qui sont robustes.

Nous plaçons succintement ces modèles dans leur contexte historique et offrons au lecteur de les expérimenter numériquement à l'aide de simulations embarquées.

++++

Les fondateurs : A. Lotka & V. Volterra

L'écologie mathématique est née avec les travaux d'Alfred Lotka (1880-1949) et de Vito Volterra (1860-1940), dans les années 1920.
Ils ont proposé indépendamment et à peu près simultanément le premier modèle mathématique pour tenter de décrire l'interaction entre une population de proies et une population de prédateurs ou, plus généralement, une interaction de type « ressource-consommateur ».

Ce modèle est défini par un système de deux équations différentielles.

Lotka et la biologie physique

Alfred James Lotka

(2 mars 1880 - 5 décembre 1949)

Alfred Lotka fut un penseur solitaire et éclectique et sa carrière scientifique fut assez
malheureuse.

En 1925, paraît son livre intitulé Elements of Physical Biology.
Il propose de représenter les cinétiques de populations vivant en communauté par des systèmes d'équations différentielles.
Dans un des chapitres de son livre, Lotka considère l'exemple d'une population d'animaux herbivores qui se nourrissent de plantes. Par analogie avec les équations utilisées pour la cinétique chimique, en représentant par la masse totale des
plantes et par la masse totale des herbivores à l'instant $t$, Lotka propose le modèle suivant :

où a, b, c et d sont des paramètres positifs.

Volterra et la « théorie mathématique de la lutte pour la vie »

Vito Volterra

3 mai 1860 - 11 octobre 1940

Vito Volterra est déjà un mathématicien de grand renom lorsqu'il s'intéresse
à l'écologie.

L'intérêt de Volterra pour les problèmes de l'équilibre entre espèces animales dans les écosystèmes fut suscitée par le zoologiste Umberto D'Ancona (1896-1964). D'Ancona s'occupait depuis quelques années de statistiques portant sur la pêche dans le nord de la mer Adriatique. Ces données concernaient le pourcentage des poissons prédateurs (sélaciens) pêchés dans trois ports italiens. D'Ancona a constaté que la part de ces poissons était plus importante pendant la première guerre mondiale où la pêche est moins intense. Les poissons sélaciens (tels les requins ou les raies) se nourrissant d'autres poissons qui à leur tour se nourrissent de plancton, il semble donc qu'une diminution de l'effort de pêche favorise les espèces prédatrices.

Volterra, qui ignore le travail de Lotka, propose d'expliquer ce fait avec le même modèle. Il remarque, comme Lotka, que ce système oscille de manière périodique avec une période qui dépend de la condition initiale.

La démarche que suit Volterra illustre ses conceptions mécanistes. Il aborde le problème en faisant dans un premier temps abstraction du phénomène de pêche.

Volterra schématise les deux populations par deux systèmes de particules se déplaçant au hasard dans un récipient fermé qui représente l'écosystème, ici la mer. C'est le modèle physique bien connu du gaz parfait où des particules se déplacent et se heurtent au hasard dans un récipient fermé.
Dans le modèle de Volterra, chaque collision correspond à une « rencontre » entre une « particule-proie » et une « particule-prédateur », donnant ainsi au prédateur l'occasion de dévorer une proie.
Volterra publie ses travaux dans un article en italien en 1926, puis il publie en 1931 un livre intitulé Leçons sur la théorie mathématique de la lutte pour la vie, dans lequel il étudie d'autres modèles.

++++

Le modèle de Lotka-Volterra

Le modèle que nous avons écrit plus haut peut se réécrire, après un
changement approprié d'unités, sous la forme suivant :

où il ne reste donc plus qu'un seul paramètre positif.

Le lecteur peut expérimenter numériquement le modèle en manipulant l'expérience numérique interactive ci-dessous.

Une fois le widget ouvert, il sélectionnera, en cliquant (ou avec un doigt sur tablette tactile), une population initiale
de proies et de prédateurs et produira la solution
Il constatera que chaque solution parcourt une trajectoire fermée et que toutes les trajectoires sont concentriques.

Une petite réflexion montre qu'une trajectoire fermée correspond au fait que les fonctions et sont périodiques.

Elles tournent autour d'un point particulier qui correspond à l'équilibre des populations : lorsque la population
de proies a pour taille et celle des prédateurs a pour taille 1, rien ne change au cours du temps ().

Un pas de plus (pour les curieux)

Le mérite du modèle de Lotka-Volterra est qu'il est le plus simple qu'on puisse imaginer. Il présente forcément un certain nombre de défaut. Le plus évident est le suivant : en l'absence de prédateurs (), les équations
se réduisent à une seule équation : , qui se résout facilement : , c-à-d que la population des proies « explose » exponentiellement vite avec le temps.

Un tel comportement est sans doute correct durant un très court laps de temps. Mais la limitation des ressources fait que la population ne peut pas dépasser un certain seuil, appelé « capacité de charge » par les écologues.

La façon la plus simple pour modéliser cet effet est de poser :

Il n'est pas difficile de se convaincre que les solutions sont de la forme montrée sur la figure. Si la population initiale est plus petite que la capacité de charge (qui vaut ici 1), elle commence par croître exponentiellement avant de subir un infléchissement et de tendre vers 1.
Si la population initiale est au dessus de la capacité de charge, elle tend exponentiellement vite vers 1.

++++

Si nous revenons au modèle de Lotka-Volterra et si nous le modifions pour tenir compte de cette compétition entre proies, on obtient, après un changement d'unités approprié, le modèle suivant :

où et sont des paramètres positifs.

Le lecteur peut expérimenter numériquement le modèle en manipulant l'expérience numérique interactive ci-dessous.

Il pourra constater que les solutions ont un comportement
totalement différent de celles du modèle initial. En effet,
l'équilibre « attire » toutes les solutions issues de
populations initiales de proies et de prédateurs d'effectif
positif.

Pour déplacer l'équilibre, faire glisser la souris (ou le doigt sur tablette tactile) sous l'axe
des vers la gauche.

++++

Le modèle de Rosenzweig-MacArthur

Crawford Stanley (Buzz) Holling

Rapidement après l'apparition du modèle de Lotka-Volterra, diverses modifications ont été proposées pour le terme de prédation. En effet, le nombre de proies tuées par les prédateurs est dans ce modèle proportionnel au produit du nombre d'individus de chaque population, c-à-d proportionnel à .

Autrement dit, le nombre de proies tuées par prédateur croît proportionnellement au nombre de proies lui-même et il n'y a donc aucun effet de « saturation » ou de « satiété ». C'est qualitativement ce qu'on observe pour certaines populations de bactéries.

Pour des mamifères se nourrissant d'insectes ou bien d'autres mamifères, on s'attend à un comportement vraiment différent. En effet, le temps du prédateur va se diviser en un temps de recherche de sa proie suivi d'un temps pour la « traiter ».

L'écologue américain Buzz Holling (né en 1930) a proposé en 1959
trois grands types de modélisation du nombre de proies tuées par
prédateur : la première est celle du modèle de Lotka-Volterra (type I)
et les deux autres introduisent un effet de saturation lorsque le
nombre de proies dépasse un certain seuil (types II et III).

Les types II et III diffèrent quand le nombre de proies est très petit et
permettent de distinguer les prédateurs « généralistes » des prédateurs
« spécialistes ».

Robert Helmer MacArthur

7 avril 1930 - 1er novembre 1972

Michael L. Rosenzweig

Né en 1941

C'est en 1963 que les écologues américains Robert MacArthur (1930-1972) et Michael L. Rosenzweig (né en 1941) étudièrent le modèle proie-prédateur suivant :

où , et sont des paramètres positifs. Le terme
de prédation est de type II.

Le lecteur peut expérimenter numériquement le modèle en manipulant l'expérience numérique interactive ci-dessous.

La droite verticale rouge est le lieu des points où et la courbe parabolique en rouge celui où . À leur intersection se trouve donc l'équilibre correspondant à des effectifs de proies et de prédateurs positifs et constants au cours du temps.

En faisant glisser la souris (ou le doigt sur tablette tactile) sous l'axe des , on déplace la droite verticale
et donc l'équilibre.

Le lecteur se rendra compte de deux régimes qualitativement différents :
dans l'un, l'équilibre attire toutes les solutions pour lesquelles les effectifs
initiaux de proies et de prédateurs sont positifs ; dans l'autre, il apparaît
une trajectoire fermée autour de laquelle s'« enroulent » les trajectoires
des solutions : il s'agit d'un « cycle limite ». Il correspond à une solution
périodique robuste dans le sens que quelque soit les effectifs (positifs) initiaux de proies et de prédateurs, les solutions correspondantes vont tendre
vers cette solution périodique.

Le passage d'un régime à l'autre s'appelle une bifurcation de Hopf.

++++

Références (pour aller plus loin)

Références « historiques » :

– V. Volterra (1931) 'Leçons sur la théorie mathématique de la lutte pour la vie', Gauthier-Villars, 1931 (réimpr. Jacques Gabay en 1990).
– A.J. Lotka (1925) 'Elements of Physical Biology' (réimpr. Dover en 1956 sous le titre `Elements of Mathematical Biology').
– G. F. Gause (1934) 'The struggle for existence', Williams and Wilkins, Baltimore.
– C. S. Holling (1959) 'The components of predation as revealed by a study of small mammal predation of the European Pine Sawfly', Canadian Entomologist. Vol 91 : 293-320.
– M. L. Rosenzweig, R. H. McArthur (1963) 'Graphical representation and stability conditions of predator-prey interactions', Amer. Natur. 91 : 209-223.

Livres spécialisés :

– J.-C. Poggiale, C. Lett, P. Auger (2010) 'Modélisation mathématique en écologie', Dunod.
– J. D. Murray (2002) 'Mathematical Biology', Interdisciplinary Applied Mathematics, Vol. 17, Springer.
– F. Brauer and C. Castillo-Chavez (2000) 'Mathematical Models in Population Biology and Epidemiology', Springer.

- Articles / Une, Mathématiques, simulations, Expériences Numériques Interactives, ebook, cycle limite

Interview de Cédric Villani, médaille Fields 2010 et directeur de l'IHP

Espace-Turing OK, marc — 2012-04-09T04:12:15Z

Cédric Villani, médaille Fields 2010 et directeur de l'Institut Henri Poincaré, donnera une conférence tout public intitulée "des triangles, des gaz et des hommes" lors de sa venue à Nice le mercredi 18 avril 2012.
L'occasion de poser quelques questions à ce mathématicien éclairé.

Nous fêtons cette année le centenaire de la naissance d'Alan Turing et celui de la mort d'Henri Poincaré.
Voyez-vous des points communs entre ces deux mathématiciens et, si oui, de quelle nature ?

Cédric Villani : Les points communs ne sautent pas immédiatement aux yeux, et pour cause !
Turing fascine par la logique et les fondements, alors que Poincare néglige ces aspects et surfe sur les éléments.
Turing est anticonformiste et provocateur alors que Poincaré est plutôt bourgeois dans ses habitudes ;
Turing était un sportif de niveau international alors que Poincaré était plutot lymphatique et maladroit ;
Turing était élégant et concis alors que Poincare était confus et prolifique...

Mais au-delà de ces différences, il y a le goût pour la représentation et la compréhension de ce qui est dynamique !
Poincaré réalisant les premieres grandes études qualitatives d'equations differentielles
et Turing réalisant les premières grandes études qualitatives d'équations aux dérivées partielles dans ses travaux sur la morphogénèse.

Et puis chez Poincaré comme chez Turing, la même facilité à passer d'un domaine à l'autre, échappant à toute possibilité de classification.

Y-a t-il chez les jeunes chercheurs des héritiers d'Alan Turing ?

C.V : Bien sur !
Les jeunes chercheurs vedettes de l'INRIA, comme Georges Gonthier ou Benjamin Werner, reprennent le flambeau du lien entre l'art de la preuve mathématique et celui de la programmation. Les théoriciens du codage, comme Irit Dinur, aussi. Et tant d'autres qui ne me viennent pas en tête sur le coup...

L'informatique peut elle jouer un rôle dans la vulgatisation mathématique ? Et si oui, comment le définiriez vous ?

C.V : L'informatique peut jouer plusieurs rôles vitaux dans la vulgarisation mathématique.

D'abord, bien sur, comme fonction de support, par des démonstrations, applications, animations, ... .
Les tentatives les plus abouties dans cette direction sont sans doute celles d'Etienne Ghys, et en particulier en collaboration avec Jos Leys (voir les animations du DVD "Dimensions" : http://www.dimensions-math.org/Dim_...).

Ensuite pour faire passer l'idée d'une preuve comme programme, au coeur de la problématique des vérifications automatiques.
Tout le monde devrait apprendre à programmer pour sentir ce que c'est qu'un programme !

Et puis il y a aussi les logiciels très populaires d'aide à la visualisation ou à la réalisation mathématique.

Puisque nous parlons de vulgarisation, une question, disons... floue... Une vulgarisation a forcément ses limites. Dans le cas des mathématiques, quels sont, à votre avis, la portée de la vulgarisation et ses limites ?

C.V : Nous ne sommes qu'au début de l'exploration de la vulgarisation en mathématique : ce sujet n'a été vraiment pris au sérieux que récemment. Jusqu'à peu on la disait presque impossible !
La vulgarisation peut s'adresser au coeur (comme dans l'exposition récente de la Fondation Cartier : http://www.espace-turing.fr/Exposit...) comme à l'esprit (articles des revues comme "Pour la Science")
Elle peut prendre la forme de jeux ludiques et interactives, ou au contraire choisir de rester impénétrable et de chercher son attrait dans la forme.
La mathématique est riche et diverse, et la vulgarisation mathématique aussi.

Par rapport aux autres disciplines, le risque principal en est le malentendu ou le détournement de sens (comme cela a pu arriver en particulier sous la plume de certains philosophes), mais rien de bien grave à mon sens.