De Moivre était un précurseur du développement de la géométrie analytique et de la théorie des probabilités. Il publia The Doctrine of Chances (Théorie du Hasard) en 1718. Une querelle faillit éclater à ce sujet car il reprenait les travaux du Français Rémond de Montmort : Essay d’analyse sur les jeux de hazard (1708). Il en avait eu connaissance par Huygens.

Toutefois la querelle prit fin rapidement car de Moivre généralise ces travaux. En outre, la première définition de l’indépendance statistique apparaît dans cet ouvrage, ainsi que de nombreux problèmes, par exemple à propos de jeux de dés et beaucoup d’autres jeux.

Il a également étudié les statistiques de mortalité et la base de la théorie des annuités (avec Halley).

Dans Miscellanea Analytica (1730) apparaît sous sa forme définitive la formule de Stirling que James Stirling avait indiquée quelques mois plus tôt, et que de Moivre utilisa en 1733 pour décrire la loi normale comme une approximation de la binomiale.

Dans une seconde édition de l’ouvrage en 1738, de Moivre crédite Stirling d’une amélioration de la formule. C’est, dans cet ouvrage, la première apparition de la principale loi de probabilité (la loi normale, ou courbe de Gauss), ainsi que la première forme (embryonnaire) du théorème central limite, un des deux principaux théorèmes de la théorie des probabilités.

De Moivre est surtout populaire pour sa formule découverte en 1707, que l’on trouve aussi bien en trigonométrie qu’en analyse :

$$(\cos x+\rm i\sin x)^n=\cos nx+\rm i\sin nx.$$