Physicien au début de sa carrière (il étudie la théorie de la relativité dont l’initiateur fut Albert Einstein), mathématicien et philosophe, Carmichael se consacra tout particulièrement, dès 1914, à la théorie des nombres (aux nombres premiers en particulier), à l’analyse diophantienne et à la théorie des groupes. Il enseigna à l’université de l’Indiana de 1911 à 1915 et à l’université de l’Illinois de 1915 à 1947.

Dans le cadre de l’étude de la primalité d’un entier naturel (savoir si un nombre est premier et sinon connaître sa factorisation) et de la distribution des nombres premiers dans l’ensemble des entiers naturels, Carmichael recherche et étudie les propriétés des nombres de Carmichael, aussi appelés nombres absolument pseudo-premiers.

– Le petit théorème de Fermat, base des tests de pseudo-primalité